Persamaan diferensial Bessel

 Persamaan diferensial Bessel

Salah satu dari persamaan-persamaan diferensial yang terpenting dalam penerapan matematika adalah persamaan diferensial Bessel

x²y² + xy¢ + (x² – v²) y = 0                                      (*)

di mana parameter v merupakan bilangan yang diberikan. Persamaan ini timbul dalam soal-soal tentang getaran (vibrasi), medan elektrostatik, rambatan (konduksi) panas, dan sebagainya, pada sebagian besar kasus persoalan tersebut menunjukkan sifat simetri silinder.

Kita asumsikan bahwa parameter v di dalam persamaan diferensial di atas (*) adalah bilangan riil dan taknegatif. Perhatikan bahwa persamaan diferensial ini mempunyai titik singular reguler di x = 0. Jadi Persamaan (*) mempunyai penyelesaian yang berbentuk

y(x) =

         =                   dengan a₀ ¹ 0

turunan-turunannya adalah

y¢(x) =

y²(x) =

substitusikan y, y¢ dan y² ke persamaan diferensial di atas, diperoleh

Bagi persamaan ini dengan x^r dan kemudian kumpulkan koefisien dari x^m, maka didapat

(r² – v²)a₀ + [(r + 1)² – v²] a₁x + = 0

(r² – v²)a₀ = 0

[(r + 1)² – v²] a₁ = 0

= 0

karena a₀ ¹ 0, dari (r² – v²)a₀ = 0 diperoleh persamaan penunjuk

r² – v² = 0 Û r = ± v

begitu pula dari [(r + 1)² – v²] a₁ = 0 di dapat a₁ = 0.

Sedangkan dari persamaan = 0 didapat rumus rekursi

(r + m – v)(r + m + v) a_m = - a_m-2,  untuk m = 2, 3, …                           (1)

selanjutnya kita tinjau kasus r = v.

Penyelesaian Terhadap Akar r₁ = v

Untuk r = r₁ = v maka rumus rekursi menjadi

m(2v + m) a_m = - a_m-2, untuk m = 2, 3, …

karena a₁ = 0, maka diperoleh a₃ = 0, a₅ = 0, …, a_2k-1 = 0, untuk k = 1, 2, … dengan syarat 2v + m ¹ 0 untuk m = 2, 3, ….

Gantikan m dengan 2m dalam rumus (1) memberikan

a_2m =   , untuk m = 1, 2, 3, …                                      (2)

dengan syarat v ¹ - m.

Dari (2) kita peroleh koefisien-koefisien a₂, a₄, … secara berurutan.

ganti m dengan m-1 dalam (2), sehingga diperoleh

a_2m-2 =

dengan demikian

a_2m =

apabila proses ini dilanjutkan, maka didapat

a_2m =   ,    untuk m = 1, 2, 3, ….              (3)

a₀ masih sembarang, biasanya diambil

a₀ =

dimana G adalah fungsi Gamma. Untuk keperluan di sini cukup kita ketahui bahwa G(a) didefinisikan oleh integral

       (a > 0)

dengan integrasi parsial diperoleh

pernyataan pertama di ruas kanan adalah nol dan integral di ruas kanan adalah G(a). Ini menghasilkan hubungan dasar

G(a+1) = a G(a)                                                        (4)

karena

G(1) =

kita simpulkan dari (4) bahwa

G(2) = G(1) = 1 !,       G(3) = 2G(2) = 2!,     ….

dan umumnya

G(k+1) = k!                untuk k = 0, 1, 2, ….

Ini menunjukkan bahwa fungsi gamma dapat dipandang sebagai generalisasi dari fungsi faktorial yang diketahui dari kalkulus elementer.

Kita kembali pada masalah yang kita tinjau,

(v+m)(v+m-1) … (v+1) G(v+1) = G(v+m+1)

jadi rumus untuk a_2m pada (3) menjadi

                 , m = 0, 1, 2, ….                     (5)

Dengan menentukan  r = v dan substitusikan (5) ke y(x) = dan mengingat a_2m-1 = 0, untuk m = 1, 2, …, maka didapat

y(x) = =

fungsi ini dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde v dan ditulis dengan notasi J_v(x). Jadi

J_v(x) =                                               (6)

atau

J_v(x) =  

dan berlaku untuk v yang bukan bilangan bulat negatif,

atau

J_n(x) =

Deret di ruas kanan pada (6) konvergen mutlak untuk setiap x (uji dengan tes hasil bagi). Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial (6) untuk v bukan bilangan bulat negatif.

Khususnya untuk v = 0, dari (6) diperoleh

J₀(x) =

yaitu fungsi Bessel orde nol.

Sekarang kita tinjau kasus  r = - v.

Penyelesaian J_-v dari Persamaan Bessel

Dengan mengganti v dengan –v di (6), kita peroleh

J_-v(x) =                                            (7)

Karena persamaan Bessel memuat v², maka fungsi-fungsi J_v dan J_-v merupakan penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Bessel untuk v yang sama. Bila v bukan bilangan bulat, maka J_v dan J_-v adalah bebas linear karena suku pertama di (6) dan suku pertama di (7) berturut-turut adalah kelipatan hingga yang tak nol dari x^v dan x^-v. Ini memberikan hasil berikut.

Teorema 1. (Penyelesaian umum persamaan Bessel)

 Jika v bukan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan Bessel untuk setiap x ¹ 0 adalah

y(x) = c₁ J_v(x) + c₂ J_-v(x).

Tetapi jika v suatu bilangan bulat, maka y(x) = c₁ J_v(x) + c₂ J_-v(x) bukan penyelesaian umum. Ini diperoleh dari teorema berikut.

Teorema 2. (Kebergantungan linear fungsi-fungsi Bessel J_n dan J_-n)

Untuk bilangan bulat v = n, fungsi-fungsi Bessel J_n(x) dan J_-n(x) adalah bergantung linear karena

J_-n(x) = (-1) ⁿ J_n(x)                            untuk n = 1, 2, 3, ….

Mohon untuk diingat:

Fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menyatakan fungsi-fungsi J_n(x). kita tahu bahwa

bila kedua deret itu kita perkalikan maka diperoleh

          = J₀(x) + J₁(x) t + J₂(x) t² + J_-1(x) t^-1 + J_-2(x) t^-2 + ….

berlaku untuk setiap x dan t ¹ 0. Jadi J_n merupakan koefisien dari uraian fungsi elsponensial di atas.

Salah satu dari persamaan-persamaan diferensial yang terpenting dalam penerapan matematika adalah persamaan diferensial Bessel

x²y² + xy¢ + (x² – v²) y = 0                                      (*)

di mana parameter v merupakan bilangan yang diberikan. Persamaan ini timbul dalam soal-soal tentang getaran (vibrasi), medan elektrostatik, rambatan (konduksi) panas, dan sebagainya, pada sebagian besar kasus persoalan tersebut menunjukkan sifat simetri silinder.

Kita asumsikan bahwa parameter v di dalam persamaan diferensial di atas (*) adalah bilangan riil dan taknegatif. Perhatikan bahwa persamaan diferensial ini mempunyai titik singular reguler di x = 0. Jadi Persamaan (*) mempunyai penyelesaian yang berbentuk

y(x) =

         =                   dengan a₀ ¹ 0

turunan-turunannya adalah

y¢(x) =

y²(x) =

substitusikan y, y¢ dan y² ke persamaan diferensial di atas, diperoleh

Bagi persamaan ini dengan x^r dan kemudian kumpulkan koefisien dari x^m, maka didapat

(r² – v²)a₀ + [(r + 1)² – v²] a₁x + = 0

(r² – v²)a₀ = 0

[(r + 1)² – v²] a₁ = 0

= 0

karena a₀ ¹ 0, dari (r² – v²)a₀ = 0 diperoleh persamaan penunjuk

r² – v² = 0 Û r = ± v

begitu pula dari [(r + 1)² – v²] a₁ = 0 di dapat a₁ = 0.

Sedangkan dari persamaan = 0 didapat rumus rekursi

(r + m – v)(r + m + v) a_m = - a_m-2,  untuk m = 2, 3, …                           (1)

selanjutnya kita tinjau kasus r = v.

Penyelesaian Terhadap Akar r₁ = v

Untuk r = r₁ = v maka rumus rekursi menjadi

m(2v + m) a_m = - a_m-2, untuk m = 2, 3, …

karena a₁ = 0, maka diperoleh a₃ = 0, a₅ = 0, …, a_2k-1 = 0, untuk k = 1, 2, … dengan syarat 2v + m ¹ 0 untuk m = 2, 3, ….

Gantikan m dengan 2m dalam rumus (1) memberikan

a_2m =   , untuk m = 1, 2, 3, …                                      (2)

dengan syarat v ¹ - m.

Dari (2) kita peroleh koefisien-koefisien a₂, a₄, … secara berurutan.

ganti m dengan m-1 dalam (2), sehingga diperoleh

a_2m-2 =

dengan demikian

a_2m =

apabila proses ini dilanjutkan, maka didapat

a_2m =   ,    untuk m = 1, 2, 3, ….              (3)

a₀ masih sembarang, biasanya diambil

a₀ =

dimana G adalah fungsi Gamma. Untuk keperluan di sini cukup kita ketahui bahwa G(a) didefinisikan oleh integral

       (a > 0)

dengan integrasi parsial diperoleh

pernyataan pertama di ruas kanan adalah nol dan integral di ruas kanan adalah G(a). Ini menghasilkan hubungan dasar

G(a+1) = a G(a)                                                        (4)

karena

G(1) =

kita simpulkan dari (4) bahwa

G(2) = G(1) = 1 !,       G(3) = 2G(2) = 2!,     ….

dan umumnya

G(k+1) = k!                untuk k = 0, 1, 2, ….

Ini menunjukkan bahwa fungsi gamma dapat dipandang sebagai generalisasi dari fungsi faktorial yang diketahui dari kalkulus elementer.

Kita kembali pada masalah yang kita tinjau,

(v+m)(v+m-1) … (v+1) G(v+1) = G(v+m+1)

jadi rumus untuk a_2m pada (3) menjadi

                 , m = 0, 1, 2, ….                     (5)

Dengan menentukan  r = v dan substitusikan (5) ke y(x) = dan mengingat a_2m-1 = 0, untuk m = 1, 2, …, maka didapat

y(x) = =

fungsi ini dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde v dan ditulis dengan notasi J_v(x). Jadi

J_v(x) =                                               (6)

atau

J_v(x) =  

dan berlaku untuk v yang bukan bilangan bulat negatif,

atau

J_n(x) =

Deret di ruas kanan pada (6) konvergen mutlak untuk setiap x (uji dengan tes hasil bagi). Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial (6) untuk v bukan bilangan bulat negatif.

Khususnya untuk v = 0, dari (6) diperoleh

J₀(x) =

yaitu fungsi Bessel orde nol.

Sekarang kita tinjau kasus  r = - v.

Penyelesaian J_-v dari Persamaan Bessel

Dengan mengganti v dengan –v di (6), kita peroleh

J_-v(x) =                                            (7)

Karena persamaan Bessel memuat v², maka fungsi-fungsi J_v dan J_-v merupakan penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Bessel untuk v yang sama. Bila v bukan bilangan bulat, maka J_v dan J_-v adalah bebas linear karena suku pertama di (6) dan suku pertama di (7) berturut-turut adalah kelipatan hingga yang tak nol dari x^v dan x^-v. Ini memberikan hasil berikut.

Teorema 1. (Penyelesaian umum persamaan Bessel)

 Jika v bukan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan Bessel untuk setiap x ¹ 0 adalah

y(x) = c₁ J_v(x) + c₂ J_-v(x).

Tetapi jika v suatu bilangan bulat, maka y(x) = c₁ J_v(x) + c₂ J_-v(x) bukan penyelesaian umum. Ini diperoleh dari teorema berikut.

Teorema 2. (Kebergantungan linear fungsi-fungsi Bessel J_n dan J_-n)

Untuk bilangan bulat v = n, fungsi-fungsi Bessel J_n(x) dan J_-n(x) adalah bergantung linear karena

J_-n(x) = (-1) ⁿ J_n(x)                            untuk n = 1, 2, 3, ….

Mohon untuk diingat:

Fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menyatakan fungsi-fungsi J_n(x). kita tahu bahwa

bila kedua deret itu kita perkalikan maka diperoleh

          = J₀(x) + J₁(x) t + J₂(x) t² + J_-1(x) t^-1 + J_-2(x) t^-2 + ….

berlaku untuk setiap x dan t ¹ 0. Jadi J_n merupakan koefisien dari uraian fungsi elsponensial di atas.

Salah satu dari persamaan-persamaan diferensial yang terpenting dalam penerapan matematika adalah persamaan diferensial Bessel

x²y² + xy¢ + (x² – v²) y = 0                                      (*)

di mana parameter v merupakan bilangan yang diberikan. Persamaan ini timbul dalam soal-soal tentang getaran (vibrasi), medan elektrostatik, rambatan (konduksi) panas, dan sebagainya, pada sebagian besar kasus persoalan tersebut menunjukkan sifat simetri silinder.

Kita asumsikan bahwa parameter v di dalam persamaan diferensial di atas (*) adalah bilangan riil dan taknegatif. Perhatikan bahwa persamaan diferensial ini mempunyai titik singular reguler di x = 0. Jadi Persamaan (*) mempunyai penyelesaian yang berbentuk

y(x) =

         =                   dengan a₀ ¹ 0

turunan-turunannya adalah

y¢(x) =

y²(x) =

substitusikan y, y¢ dan y² ke persamaan diferensial di atas, diperoleh

Bagi persamaan ini dengan x^r dan kemudian kumpulkan koefisien dari x^m, maka didapat

(r² – v²)a₀ + [(r + 1)² – v²] a₁x + = 0

(r² – v²)a₀ = 0

[(r + 1)² – v²] a₁ = 0

= 0

karena a₀ ¹ 0, dari (r² – v²)a₀ = 0 diperoleh persamaan penunjuk

r² – v² = 0 Û r = ± v

begitu pula dari [(r + 1)² – v²] a₁ = 0 di dapat a₁ = 0.

Sedangkan dari persamaan = 0 didapat rumus rekursi

(r + m – v)(r + m + v) a_m = - a_m-2,  untuk m = 2, 3, …                           (1)

selanjutnya kita tinjau kasus r = v.

Penyelesaian Terhadap Akar r₁ = v

Untuk r = r₁ = v maka rumus rekursi menjadi

m(2v + m) a_m = - a_m-2, untuk m = 2, 3, …

karena a₁ = 0, maka diperoleh a₃ = 0, a₅ = 0, …, a_2k-1 = 0, untuk k = 1, 2, … dengan syarat 2v + m ¹ 0 untuk m = 2, 3, ….

Gantikan m dengan 2m dalam rumus (1) memberikan

a_2m =   , untuk m = 1, 2, 3, …                                      (2)

dengan syarat v ¹ - m.

Dari (2) kita peroleh koefisien-koefisien a₂, a₄, … secara berurutan.

ganti m dengan m-1 dalam (2), sehingga diperoleh

a_2m-2 =

dengan demikian

a_2m =

apabila proses ini dilanjutkan, maka didapat

a_2m =   ,    untuk m = 1, 2, 3, ….              (3)

a₀ masih sembarang, biasanya diambil

a₀ =

dimana G adalah fungsi Gamma. Untuk keperluan di sini cukup kita ketahui bahwa G(a) didefinisikan oleh integral

       (a > 0)

dengan integrasi parsial diperoleh

pernyataan pertama di ruas kanan adalah nol dan integral di ruas kanan adalah G(a). Ini menghasilkan hubungan dasar

G(a+1) = a G(a)                                                        (4)

karena

G(1) =

kita simpulkan dari (4) bahwa

G(2) = G(1) = 1 !,       G(3) = 2G(2) = 2!,     ….

dan umumnya

G(k+1) = k!                untuk k = 0, 1, 2, ….

Ini menunjukkan bahwa fungsi gamma dapat dipandang sebagai generalisasi dari fungsi faktorial yang diketahui dari kalkulus elementer.

Kita kembali pada masalah yang kita tinjau,

(v+m)(v+m-1) … (v+1) G(v+1) = G(v+m+1)

jadi rumus untuk a_2m pada (3) menjadi

                 , m = 0, 1, 2, ….                     (5)

Dengan menentukan  r = v dan substitusikan (5) ke y(x) = dan mengingat a_2m-1 = 0, untuk m = 1, 2, …, maka didapat

y(x) = =

fungsi ini dikenal sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde v dan ditulis dengan notasi J_v(x). Jadi

J_v(x) =                                               (6)

atau

J_v(x) =  

dan berlaku untuk v yang bukan bilangan bulat negatif,

atau

J_n(x) =

Deret di ruas kanan pada (6) konvergen mutlak untuk setiap x (uji dengan tes hasil bagi). Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial (6) untuk v bukan bilangan bulat negatif.

Khususnya untuk v = 0, dari (6) diperoleh

J₀(x) =

yaitu fungsi Bessel orde nol.

Sekarang kita tinjau kasus  r = - v.

Penyelesaian J_-v dari Persamaan Bessel

Dengan mengganti v dengan –v di (6), kita peroleh

J_-v(x) =                                            (7)

Karena persamaan Bessel memuat v², maka fungsi-fungsi J_v dan J_-v merupakan penyelesaian-penyelesaian dari persamaan Bessel untuk v yang sama. Bila v bukan bilangan bulat, maka J_v dan J_-v adalah bebas linear karena suku pertama di (6) dan suku pertama di (7) berturut-turut adalah kelipatan hingga yang tak nol dari x^v dan x^-v. Ini memberikan hasil berikut.

Teorema 1. (Penyelesaian umum persamaan Bessel)

 Jika v bukan bilangan bulat, maka penyelesaian umum persamaan Bessel untuk setiap x ¹ 0 adalah

y(x) = c₁ J_v(x) + c₂ J_-v(x).

Tetapi jika v suatu bilangan bulat, maka y(x) = c₁ J_v(x) + c₂ J_-v(x) bukan penyelesaian umum. Ini diperoleh dari teorema berikut.

Teorema 2. (Kebergantungan linear fungsi-fungsi Bessel J_n dan J_-n)

Untuk bilangan bulat v = n, fungsi-fungsi Bessel J_n(x) dan J_-n(x) adalah bergantung linear karena

J_-n(x) = (-1) ⁿ J_n(x)                            untuk n = 1, 2, 3, ….

Mohon untuk diingat:

Fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menyatakan fungsi-fungsi J_n(x). kita tahu bahwa

bila kedua deret itu kita perkalikan maka diperoleh

          = J₀(x) + J₁(x) t + J₂(x) t² + J_-1(x) t^-1 + J_-2(x) t^-2 + ….

berlaku untuk setiap x dan t ¹ 0. Jadi J_n merupakan koefisien dari uraian fungsi elsponensial di atas.