Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas disebut.

Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu

PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan

$f(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},...,\frac{d^ny}{dx^n})=0$

Contoh :

Persamaan $\frac{dy}{dx}$ + xy = 0 dan $\frac{d^2y}{dx^2}$ + $\frac{dy}{dx}$ – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x.

PD Parsial (Partial Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas dan lebih dari satu peubah bebas. PD jenis ini dengan dua peubah bebas dapat dirumuskan

$f(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{dy},\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}...,\frac{\partial^n z}{\partial y^n})=0$

Contoh :

Persamaan $\frac{\partial z}{\partial y}$ + $\frac{\partial z}{\partial x}$ = 0 adalah persamaan diferensial parisial karena variable tak bebas z bergantung pada variable bebas x dan y.

Demikian juga dengan persamaan $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$ + $\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$ + $\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}$ = 0, karena variable tak bebas v bergantung pada variable bebas x, y dan z.

Selain klasifikasi PD di atas, suatu PD juga dapat dikelompokkan berdasarkan Tingkat (order) dan Derajat (degree). Tingkat suatu PD adalah tingkat tertinggi dari derivatif-derivatif didalamnya, sedangkan derajat suatu PD adalah derajat tertinggi dari derivatif tingkat tertinggi PD tersebut.

Contoh:

$\frac{d^4y}{dx^4}$ + 5 $\frac{d^2y}{dx^2}$ + 3y = sin x, PD tingkat 4, derajat 1

$\frac{d^2y}{dx^2}$ + xy $(\frac{dy}{dx^2})^2$ = 0, PD tingkat 2, derajat 1

$\frac{d^3y}{dt^2}$ + 3 $(\frac{d^2y}{dt^2})^5$ = 0, PD tingkat 3, derajat 1
$\frac{dy}{dx}$ – cos x = 0, PD tingkat 1, derajat 1
$\frac{d^2y}{dx^2}$ + 3 $\frac{dy}{dx}$ + 2y = 0, PD tingkat 2, derajat 1
xy’ + y = 3, PD tingkat 1, derajat 1
(x² + y²)dx – 2xydy = C, PD tingkat 1, derajat 1
y”’ + 2(y”)² + y’ = cos x, PD tingkat 3, derajat 1
$(\frac{d^2y}{dx^2})^3$ + $(\frac{dy}{dx})^4$ – x²y = sin x, PD tingkat 2, derajat 3
$\frac{d^2y}{dx^2}$ + 3 $\frac{dy}{dx}$ – 2y = 0, PD tingkat 2, derajat 1

Klasifikasi lainnya adalah berdasarkan Linear dan Nonlinear. Suatu PD biasa tingkat n disebut linear jika PD tersebut dapat ditulis ke dalam bentuk

a_n(x) $\frac{d^ny}{dx^n}$ + a_n-1(x) $\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}$ + … + a₁(x) $\frac{dy}{dx}$ + a₀(x)y = g(y)

Selain PD bentuk tersebut adalah PD nonlinier

Pages

Persamaan

Persamaan Diferensial

Written By Unknown on Selasa, 13 Agustus 2013 | 02.13

Posting Komentar

Popular Posts